Schmoren Sie die geputzte und fein gehackte Zwiebel und den Knoblauch in einer Pfanne mit schwerem Boden und hohem Rand im Olivenöl an. Sobald sie goldgelb geworden sind, geben Sie das Fleisch hinein, würzen mit Salz und Pfeffer und rühren um. Gut und scharf anbraten, dann die geschälten Tomaten hinzufügen, mit dem Kochlöffel zerdrücken und mit dem Fleisch vermischen. Die Hitze reduzieren und eine halbe Stunde köcheln lassen. In der Zwischenzeit waschen Sie die Auberginen, entfernen die Endstücke und schneiden sie der Länge nach in dünne Scheiben. Erhitzen Sie nun eine Grillpfanne (oder eine Pfanne mit schwerem Boden) und legen die Auberginen darauf, sobald sie schön heiß ist. Salzen und mit einem Esslöffel Balsamico beträufeln. Wenn die untere Seite Farbe angenommen hat, wenden und erneut salzen. Legen Sie die von beiden Seiten gegrillten Auberginen nach und nach auf einen Teller. Nun die Rigatoni in reichlich Salzwasser garen, bissfest abgießen und in die Pfanne mit der Soße geben. Das gehackte Basilikum hinzufügen und die Pasta mit der Soße schwenken, damit sich alles gut vermengt; dann den Herd ausschalten und die Pfanne beiseitestellen. Füttern Sie den Boden und die Seiten einer Ofenform mit etwa 30 cm Durchmesser mit den gegrillten Auberginenscheiben aus (legen Sie dabei einige davon zum Bedecken des Auflaufs beiseite), wobei Sie die Scheiben halb über den Rand der Form lappen lassen. Nun die Pasta mit der Hackfleischsoße hineingeben, gleichmäßig ausbreiten, mit dem geriebenen Pecorino bestreuen und den grob mit den Händen zerpflückten Mozzarella und Ricotta darauf verteilen. Bedecken Sie den „Timballo“ mit den restlichen Auberginenscheiben und klappen Sie die überlappenden Auberginenteile darüber. Ca. 25 Minuten lang in den auf 180 °C vorgeheizten Ofen schieben. Nach Ablauf der Backzeit vor dem Servieren mindestens 15 Minuten abkühlen lassen.